Temeljni problemi filozofije matematike

Najjednostavnija pitanja u filozofiji matematike ukazuju na duboka pitanja: zašto je 1+1 = 2? Zašto izjava '1+1 = 2' osjetiti toliko različito od izjave poput 'jučer je padala kiša'? Što se toga tiče, što uopće mislimo pod “1”, “2”, …? Postoji li '1'? Ako da, kako i gdje? Ova su pitanja bila dostupna filozofima otkad se prakticira matematika. Ona su, kao i mnoga druga pitanja filozofije, vrlo općenita i na njih je vrlo teško odgovoriti – da bi se dao pravi smisao izjavama poput '1+1 = 2', čini se da je potrebno mnogo filozofske mašinerije, kao što je bio slučaj s predmoderni prodori u filozofiju matematike. Od Platona, preko Leibniza, do Kanta, odgovori na gornja pitanja doveli su i činili dio većeg sustava: filozofije matematike.

Filozofija matematike: od najjednostavnijih do najsloženijih pitanja

I matematika i filozofija su se jako puno promijenile u ne tako dugo vremena. Stare brige još uvijek vode istraživanje: filozofi matematike trebaju utvrditi kakva je vrsta postojanja dodijeljena objektima kao što su '1' i 'krug', a koja je vrsta istine izjavama poput '1+1 = 2'. Ali moderna matematika postavlja filozofima nova i uznemirujuća pitanja i ukazuje na objekte čiju je prirodu još teže odrediti. Ta su pitanja izazvala tako različite i naizgled nespojive odgovore da filozofija matematike može izgledati kao čudan sport u kojem se bira strana i brani je religiozno protiv svih ostalih. Važno je napomenuti da postoji toliko mnogo “strana” da bi bilo nemoguće nadati se da ćemo ih sve pokriti u tako kratkom uvodu kao što je ovaj koji upravo čitate.

To uopće ne znači da filozofija matematike trpi više mnoštva mišljenja nego druga područja filozofije. Međutim, da biste stekli osjećaj za škakljiv posao filozofskog razmišljanja o matematici, najbolje je ne izgubiti iz vida matematičke probleme koji stoje iza ovih različitih škola. Zanimljiva značajka matematičke filozofije jest tendencija da istinska matematika, a ne samo još više filozofija, iznikne iz filozofskog istraživanja, a jednako tako da matematički napredak naleti na duboka temeljna pitanja. Filozofija matematike s jedne strane, i metamatematika (proučavanje temelja matematike korištenjem matematičkih tehnika) s druge strane, prilično su izravno povijesno povezane, a jedna drugoj postaje sve važnija.

David Hilbert: Veliki projekt (filozofije) matematike

Pogledajmo povijesni luk koji dotiče mnoga ključna pitanja u filozofiji matematike, mikrokozmos međuigre između čiste filozofije i čiste matematike: projekt matematičara Davida Hilberta, a posebno njegov spor s drugim utjecajnim misliocem , L.E.J. Brouwer. Kako je čista matematika sazrijevala u 19. stoljeću i nailazila na sve apstraktnije i neintuitivnije pojmove, matematičari i filozofi jasno su uvidjeli potrebu za ozbiljnim ispitivanjem temelja predmeta. Među njima je bio Hilbert, središnji igrač u nastojanju da se postavi temelj za logičnu i robusnu temu u praktičnom smislu. Nadao se da će gledište da je matematika savršena, racionalna znanost, koje dijele toliki filozofi, pretočiti u nešto konkretno.

Hilbertova misao bila je motivirana onim što je u njegovo vrijeme bilo duboko modernim razvojem matematike. Konkretno, želio je dati stalni dom matematici transfinitan . Rad od Bolzano i Cantor u teoriji skupova (skup je naivno samo skup stvari organiziranih pod oznakom) ozbiljno i rigorozno bavio idejom stvarna beskonačnost; to jest, beskonačnim objektima je dopušteno vlastito postojanje. Na primjer, set od svi cijeli brojevi {1, 2, …} kao objekt sam po sebi je stvarna beskonačnost; s druge strane, kada se radi samo o proizvoljno velikim brojevima, potreban je samo pojam potencijal beskonačan, koji je stoljećima bio u ontološkom alatu matematičara. Filozofi iz svih doba povlačili su ovu razliku – sam pojam stvarne beskonačnosti nije bio nov. Ipak, Cantor je po prvi put izvukao njegove implikacije u teoriji skupova. Ključ je bio jednostavan način ponovnog promišljanja pojma broja.

Skupovi, brojanje i beskonačnost

Naša svakodnevna ideja o veličina skupa svodi na jednostavno prebrojavanje: s obzirom na dvije zbirke stvari, možemo reći jesu li iste veličine ili ne tako da prebrojimo stvari u svakoj zbirci i usporedimo odgovore – ja imam tri jabuke, ti imaš tri banane. Cantor je ušao u pojam 'biti iste veličine kao' i apstrahirao pojam dopisivanje jedan na jedan: setovi su iste veličine ako se mogu spariti njihovi elementi – ako svakoj vašoj banani mogu dodijeliti točno jednu svoju jabuku. Ali, ovom jednostavnom apstrakcijom dobivamo, besplatno, način da govorimo o 'veličini' beskonačnih skupova: dvije beskonačne zbirke možemo nazvati istom veličinom ako ih možemo staviti u takvu korespondenciju jedan na jedan. Kako se pokazalo, postoje beskonačni skupovi koji se ne mogu međusobno povezati na ovaj način. Događa se, na primjer, da ih bude 'više' realni brojevi (to jest, cijeli brojevni pravac – beskonačne decimale i sve) od cijelih brojeva, unatoč tome što su obje zbirke beskonačne.

Cantorov teorem: Beskonačne beskonačnosti

Postaje čudnije – Cantorov teorem govori nam, u biti, da postoje puno različitih beskonačnosti: beskonačno mnogo, zapravo, a s obzirom na bilo koju beskonačnu zbirku, uvijek postoji veća. Ovaj novi način suočavanja s pojmom broja doveo je do proučavanja kardinali, koji su na neki način radikalno proširenje brojanja koje nam omogućuje govoriti o svakojakim stvarnim beskonačnostima.

Ovi čudni fenomeni doveli su do toga da se mnogi vodeći matematičari snažno suprotstave ovoj novoj stvarnoj beskonačnosti, poput Henrija Poincaréa, koji je izjavio da ‘Ne postoji stvarna beskonačnost, kantorijci su to zaboravili i zapali su u proturječje’. Cantorove ideje, iako su sada gotovo sveprisutne u matematici, u početku uopće nisu bile popularne.

Ali za neke - među njima i za Hilberta - ovaj prekid od konačnog bio je velika pobjeda za slobodan razvoj matematike. Za Hilberta je matematička utemeljenost Cantorove beskonačnosti bila stvar od velike estetske važnosti, kao što se može zaključiti iz njegovog ozloglašenog citata: “F iz raja, koji je Cantor stvorio za nas, nitko nas neće moći protjerati ”.

Matematički realizam nasuprot matematičkom formalizmu

Razlike u perspektivama u filozofiji matematike mogu se djelomično kalibrirati stavovima prema tim novim beskonačnostima. Hilbertovo gledište stavilo ga je u izravnu suprotnost s drugim istaknutim misliocem, L. E. J. Brouwerom, što je dovelo do zloglasnog filozofskog rivalstva.

Hilbert je vidio matematiku kao neku vrstu igre, koja se bavi isključivo manipulacijom simbola prema određenim pravilima, gledište poznato kao formalizam . Ovo gledište ne zabranjuje nužno tumačenja ove 'igre formula' kao na-ovaj-onako-povezane sa stvarnošću, ali, u svom osnovnom obliku, zahtijeva manje posvećenosti problematičnim matematičkim 'entitetima' od starijih oblika matematički realizam , kao što je platonizam (pogled koji datira, naravno, natrag do Jelo , koji smatra da matematički objekti poput '1' i 'krug' stvarno postoje kao trajni objekti na način koji je neovisan o nama i našem razumijevanju njih). Brouwer je shvaćao matematiku na treći način koji se radikalno razlikuje od obje ove perspektive.

Jedan od Hilbertovih poznatijih teorema i srž točke dubokog neslaganja između njega i Brouwera je njegov tzv. Teorem o bazi . Fini detalji su nevažni: ono što je filozofima bilo zanimljivo, a Brouweru nepoželjno, bio je način na koji je Hilbert to dokazao. Hilbertov teorem o bazi je teorem postojanja – ima oblik ' tamo je barem jedan X’. Matematičari, kada imaju zadatak pokazati da 'postoji barem jedan X', mogu uzeti jedan od dva pristupa: ili moraju pokazati kako pronaći takav X, ili pokazati da je nemoguće da ne postoji takav X. Dokazi prve vrste nazivaju se konstruktivna , a dokazi druge vrste nazivaju se nekonstruktivna. Hilbertov dokaz teoreme o bazi bio je nekonstruktivan. Brouwer se protivio: utemeljio je i strastveno branio pristup matematičkoj filozofiji poznat kao intuicionizam .

Intuicionizam i konstruktivizam

Intuicionist odbija smatrati matematičke objekte stvarima koje nisu konstruirane djelovanjem uma. Brouweru su nekonstruktivne tehnike dokazivanja kakve je koristio Hilbert bile ozbiljno problematične. Šira škola matematičke filozofije koja odbacuje ove nekonstruktivne dokaze poznata je kao konstruktivizam . Konstruktivisti često odbacuju postojanje stvarnog beskonačnog u matematici, koje je kao neovisno gledište poznato kao finitizam (zajedno sa svojim prilično rubnim rođakom, ultrafinitizam , koji odbacuje čak i konačne objekte koji su 'preveliki za razumnu konstrukciju'). Hilbert i Brouwer stoga su ponudili ne samo različite perspektive o stvarnosti i valjanosti matematičkih objekata, već i radikalno različite načine bavljenja matematikom.

Obje su pokrenule novu studiju same matematičke logike: intuicionistička logika proučava logičke sustave bez zakona isključene sredine i do danas je aktivno polje istraživanja. Međutim, što je još notornije, Hilbertov rani formalistički pristup imao je kao optimističan cilj stvaranje aksiomatskog sustava (aksiomi su početni iskazi za koje se uvijek pretpostavlja da su istiniti) iz kojeg se može izvesti sva matematika, a koji je sam po sebi bio slobodan od proturječja. Ovi pojmovi – odnosno tzv potpunost i dosljednost u matematičkoj logici – obje su se činile savršeno razumnim stvarima koje možete tražiti od svojih odabranih matematičkih temelja.

Godine 1900. Hilbert je objavio popis od 23 problema za koje je smatrao da su na vrhuncu tadašnje suvremene matematike. Drugi na popisu trebao je pokazati da su njegovi aksiomi aritmetike dosljedni. Ovaj sustav aksioma nudio je uobičajene osnovne aritmetičke strukture s kojima smo upoznati – brojeve, zbrajanje, oduzimanje, itd. – i, nadali smo se, bili su dovoljno moćni da formaliziraju ostatak matematike.

Gödelov teorem o nepotpunosti: Nevolje u raju

Sada zloglasna dva teoreme o nepotpunosti Kurta Gödela zaustavila su zvjezdanije interpretacije Hilbertova projekta pokazujući da Ne sustav aksioma koji sadrži aritmetiku može dokazati vlastitu konzistentnost. To su precizni i suptilni logički teoremi i filozofi su bili oprezni u razmatranju njihovih posljedica za matematički realizam (sam Gödel je još uvijek bio predani platonist).

Iako Hilbertov program nije bio nužno u potpunom zastoju nakon Gödela, teoremi su bili prijelomni trenutak za matematičku logiku – i od tada su predmet beskrajnih filozofskih rasprava. Hilbertov pristup nije bio ni prva ni posljednja riječ o aksiomatskim temeljima matematike. Bilo je mnogo velikih projekata.

Frege, a kasnije Russell, vodili su logičar pristup, koji je imao za cilj svesti matematičke teoreme na logičke iskaze. Russell je slavno pronašao ozbiljan problem u Fregeovom pristupu – jedan od njegovih aksioma, koji je bio dopustiti stvaranje skupa pozivanjem na skup svih stvari koje zadovoljavaju dano svojstvo, ušao je u sukob s proturječjem, sada poznatim kao Russellov paradoks: da je skup svih skupova koji ne sadrže sami sebe, besmisleni entitet, dopušten ovim zakonom. Zauzvrat, činilo se da su Gödelovi teoremi zakočili Russellove vlastite logičke ambicije, pa su se matematičari okrenuli manje ambicioznim pristupima. Frege i Russell su i sami bili sastavni dio ranog razvoja Ludwig Wittgenstein , čiji rad ima širok raspon daljnjih implikacija za filozofiju matematike, uključujući status logike i njihov odnos s prirodnim jezikom.

Stara pitanja, nova pitanja: budućnost filozofije matematike

Naposljetku je pronađeno radno rješenje problema aksiomatizacije teorije skupova u obliku Zermelo-Fraenkelovih aksioma (zajedno s aksiomom izbora, povijesno kontroverznim, iako manje danas) … U praktičnom smislu ova ontologija – koja sadrži samo jedan predmet, a postaviti , od kojega je sve konstruirano – danas je ‘default’ za matematičare (iako nipošto jedini izbor).

Zermelo-Fraenkelova teorija skupova nalazi se na cijelom putu od filozofske spekulacije do konkretnog matematičkog znanja – ona je sada sama matematički objekt koji proučavaju logičari. Ali baš kao Cantorov pojam o postaviti doveli su u pitanje način na koji filozofi razmišljaju o matematici, tako da novije apstrakcije počinju činiti isto, dok novi temeljni pristupi dolaze i odlaze. Ne samo da su stara pitanja još uvijek svježa, već svježa pitanja proizlaze iz novih ideja u matematici, ne prestajući zaokupljati filozofe, kako se međuigra između filozofije i matematike produbljuje.